Jumat, 14 Juni 2013

BIOSTATISTIK(PROBABILITAS)

BIOSTATISTIK

A.    Probabilitas
1.      Pengertian Probabilitas
Semua kejadian di alam selalu dikatakan ada ketidakpastian. Bahkan didalam pengertian statistikpun terdapat anggapan bahwa adanya statistik  adalah karena adanya ketidakpastian, dengan statistik dapat diambil kesimpulan. Jadi, kejadian alam secara statistik selalu dikatakan mempunyai peluang untuk terjadi atau tidak terjadi. Oleh karena itu, keputusan didalam statistik merupakan peluang (probabilitas) yang diyakini benar dan juga memberikan peluang untuk tidak benar/salah  (Sabri, 2009 : 39).
Probability is a measure of a likelihood of the occurance of a random event (Mendenhall and Reinmuth, 1982). Terjemahannya : Probabilitas ialah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak (Supranto, 1989 : 2) Sedangkan menurut Sarwoko (2007 : 7) Probabilitas adalah suatu ukuran kuantitatif dari suatu ketidakpastian, merupakan suatu angka yang membawa kekuatan keyakinan atas suatu kejadian dari suatu peristiwa yang tidak pasti.
Dalam bidang kedokteran, teori peluang digunakan untuk pengobatan penyakit, untuk mendiagnosa suatu penyakit, dan  meramalkan prognosis atau mengadakan evaluasi serta etiologi (Budiarto, 2001; 102).
Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kunci yang harus diketahui, yaitu : eksperimen, hasil (outcome), dan kejadian atau peristiwa (event). Ketiga istilah tersebut sering kita dengar, tetapi dalam ilmu statistik ketiga istilah ini mempunyai arti yang spesifik (Supranto, 200; 309).
Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal (seperti 0,50, 0,25 atau 0,70) atau bilangan pecahan (seperti 5/10, 25/100 atau 70/100). Nilai probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Sebaliknya semakin dekat nilai probabilitas ke  nilai 1, semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi (Supranto, 200; 309).
Contoh : sebuah eksperimen dilakukan dengan menanyakan kepada 500 orang mahasiswa apakah mereka akan membeli komputer Acer jenis baru atau tidak. Dari eksperimen ini akan terdapat beberapa kemungkinan asli. Misalnya kemungkinan hasil pertama adalah sebanyak 250 orang akan membeli dan sisanya tidak akan membeli (Supranto, 200; 309).
Contoh : Bila kita memutar mata uang logam, maka kemungkinan keluar muka dan belakang sama besar, dimana probabilitas muka (p) adalah 0.5 dan probabilitas belakang (q) adalah àq = 1 – p = 0.5. keadaan ini disebut distribusi binomial (Chandra, 1995)

Contoh soal : ( Supranto, 1989 : 2 )
Misalkan A menyatakan kejadian barang rusak, yang dapat terjadi sebanyak x cara dari seluruh n cara.
Jika   n = jumlah barang
    (n-x) = jumlah barang tidak  rusak            
Maka probabilitas kejadian dinyatakan sebagai :
Kalau        x = 0,
x= n,
Jadi  0 £ P(A) £  1, maka A sering disebut sukses dan  disebut gagal

Contoh 1 : Kepala pabrik mengatakan bahwa dari 100 barang produksinya, ada 25 yang rusak. Kalau barang dibungkus rapih, kemudian seorang pembeli mengambil satu barang secara acak. Berapakah probabili-tasnya bahwa barang tersebut rusak ?

Penyelesaian :
                                    n = 100 = banyaknya barang   yang diproduksi
                        x = 25   = banyaknya barang rusak
                        A = kejadian (event) barang rusak

Maka :            
         Jadi besarnya probabilitas (kemungkinan) untuk memperoleh barang rusak = 25 %

Contoh 2 : Seorang direktur Bank mengatakan bahwa dari 1000 nasa-bahnya ada 150 orang yang tidak puas dengan pelayanan bank. Pada suatu hari kita bertemu dengan salah seorang nasabah bank. Berapa probabilitas bahwa nasabah yang bertemu dengan kita itu tidak puas ?
Pendekatan lain untuk mengetahui probabilitas suatu kejadian, yaitu dengan limit dari frekuensi relatif  yang diperoleh dari suatu percobaan.
Jika   fr    =  frekuensi relatif
    fi      =  frekuensi kejadian i
                            xI     =  kejadian i
Maka  :        
Yang dapat digambarkan sebagai
X
fi
fr
X1
f1
f1/n
X2
f2
f2/n
.
.
.
.
.
.
xI
fI
fi/n
.
.
.
.
.
.
xk
fk
fk/n
Jumlah
Sfi = n
Sfi/n =  1
Contoh 3 : Pada suatu penelitian terhadap 65 orang karyawan yang bekerja diperusahaan swasta. Salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya gaji (upah) bulanan.
x = upah bulanan dalam ribuan rupiah dengan rincian sebagai :
x
55
65
75
85
95
105
115
f`
8
10
16
14
10
5
2

Jika suatu saat, kita bertemu dengan salah seorang karyawan perusahaan tersebut. Berapa probabilitas bahwa upahnya Rp 65 ribu, Rp 105 ribu ?

Penyelesaian :

2.      Pandangan-pandangan tentang Probabilitas
a.       Pandangan klasik/intuitif
Didalam pandangan klasik ini probabilitas/peluang adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi (Sabri, 2009 : 41)
Contoh : Sebuah dadu untuk keluar mata “lima” saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).
Jadi, pendekatan didalam konsep klasik adalah matematis atau teoritis sehingga didapatkan rumus :
                        Keterangan :    P = Probabilitas
                                                E = Event (kejadian)
                                                X = Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)
                                                N = Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Contoh soal : Suatu pabrik (workshop) ada 30 wanita dan 70 laki-laki. Sehabis makan siang yang disediakan pabrik akan ditanyakan apakah makanan tadi cukup baik. Untuk itu akan diundi (di acak) siapa yang orang yang akan ditanyakan pendapatnya. Probabilitas akan terambil seorang buruh wanita adalah 30/100, jadi peluangnya adalah 0,3 (Sabri, 2009 : 41)

Namun, pendekatan klasik ini tidak dapat diberlakukan pada semua peritiwa, misalnya sebagai berikut (Budiarto, 2001; 103).
1)      Keadaan yang tidak dapat ditentukan besarnya peluang sebelum peristiwanya terjadi, misalnya besarnya peluang bayi yang dilahirkan untuk dapat hidup sampai umur 85 tahun.
2)      Probabilitas dengan pendekatan klasik dilakukan dengan anggapan bahwa hasil suatu peristiwa dapat terjadi dengan kepastian dan simetris, sedangkan semua peristiwa di dunia  penuh dengan ketidakpastian sehingga hal-hal yang terjadi di luar dugaan tidak diperhitungkan. Misalnya, pelemparan mata uang dengan hasil miring sehingga bukan gambar atau huruf yang di atas.
b.      Pandangan empiris/probabilitas relatif
Dalam pandangan ini probabilitas berdasarkan observasi pengalaman atau kejadian (peristiwa) yang telah terjadi (Sabri, 2009 : 42)
Teori peluang berdasarkan pendekatan frekuensi relatif dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli statistika berkebangsaan Inggris pada tahu 1800 yang menghitung besarnya risiko kerugian asuransi jiwa berdasarkan data statistik tentang kelahiran dan kematian. Cara ini disebut sebagai kejadian frekuensi relatif (relatve frquency of accurance) dengan ciri-ciri sebagai berikut (Budiarto, 2001; 104).
1)   Peluang terjadinya suatu event di masa yang akan datang ditentukan berdasarkan frekuensi event tersebut di masa lampau. Misalnya, berdasarkan data tahun yang lalu diketahui bahwa dari 600.000 orang yang berobat ke rumah sakit, terdapat 600 yang membutuhkan rawat inap dan dari data tersebut diestimasikan bahwa peluang seorang yang datang ke rumah sakit dan membutuhkan rawat inap adalah sebesar 0,001
2)   Bila suatu peristiwa terjadi berulang-ulang dalam jumlah yang banyak maka akan menjadi stabil dan mendekati limit peluang relatifnya.
Ini berarti bahwa untuk mendapatkan peluang dengan ketepatan yang tinggi diperlukan percobaan yang cukup banyak, tetapi cara ini tidak dapat dilakukan pada semua peristiwa, selain itu faktor biaya merupakan kendala (Budiarto, 2001; 105).
Kesalahan yang banyak dilakukan dalam menggunakan pendekatan frekuensi relatif adalah jumlah percobaan yang terlalu sedikit sehingga dapat menimbulkan kesalahan dalam menarik kesimpulan tentang besarnya peluang. Misalnya, seorang petugas kesehatan menemukan 5 orang anak yang menderita penyakit cacing di suatu desa maka dapat disimpulkan bahwa semua anak di desa tersebut menderita cacingan (Budiarto, 2001; 105).

Contoh :
1)   Pelemparan 100 x coin à 59x keluar sisi H, maka dikatakan p(H) = 59%.
2)   Dari 10.000 hasil suatu produksi, 100 rusak à p(rusak) = 1% = 0.01
3)   Distribusi relatif
Upah (Rp.1000)
Jumlah
%
200-499
90
30
500-749
165
55
750-999
45
15
Jumlah
300
100
Kalau di ambil acak satu orang probabilitas untuk yang upah 200-499ribu adalah à p (0.3)
Pandangan Klasik à 
Hubungan antara pandangan klasik dan pandangan empiris :

c.       Pandangan subjektif
Didalam pandangan subjektif probabilitas ditentukan oleh pembuatan pernyataan (Sabri, 2009 : 43)
Contoh : Seorang buruh/karyawan menyakini bahwa kalau ada kesempatan untuk pendidikan lanjut, yang akan dikirim adalah dirinya (Misalnya diyakininya 95% = 0.95)
Kebenaran dari probabilitas subjektif ini sangat tergantung kepada orang yang menentukannya, tetapi walaupun demikian probabilitas dapat membantunya.
Pendekatan subjektif ini mula-mula dikemukakan oleh Frank Ramsey pada tahun 1926 dalam bukunya yang berjudul The Founfation of Mathematics and Other Logical Essays, konsep ini kemudian dikembangkan oleh bernad Koopman, Richard Good, dan Leonard Savarage (Budiarto, 2001; 105).
Teori peluang dengan pendekatan subjektif ini sering digunakan pada penentuan di mana peristiwanya jarang terjadi.
Contoh : Seorang kepala Puskesmas akan merekrut petugas baru. Dari sejumlah pelamar yang datang diputuskan hanya  3 orang calon saja yang akan diseleksi kemudian ia menanyakan beberapa pertanyaan yang berkaitan dengan kinerja dalam menjalankan tugasnya. Selanjutnya, berdasarkan pertimbangan pribadinya ditentukan seorang di antara ketiga pelamar tersebut yang mempunyai peluang terbesar untuk dapat menjalankan tugasnya dengan baik (Budiarto, 2001; 103).





3.      Unsur-unsur Probabilitas
Untuk membantu dalam melihat dan menilai karakteristik pokok sekumpulan data, harus mempelajari bagaimana menyajikan data, dan meringkas data. Tujuan utama dari mempelajari data tidak hanya untuk meringkas dan menyajikan tetapi juga untuk melakukan analisis agar dapat menyerap informasi yang terkandung didalam sampel data itu dan mengambil kesimpulan terhadap populasi yang merupakan asal-usul sampel tersebut. Dasar logika dari proses pemgambilan inferensi statistik tentang suatu populasi dengan analisis data sampel adalah probabilitas. Sebagai contoh, probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Dalam mengambil kesimpulan atau informasi dari sekumpulan data perlu dilakukan percobaan dan sampel (Sabri, 2009 : 43)

a.       Ruang sampel
Ruang sampel adalah himpunan yang elemen-elemennya merupakan hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen. Ruang sampel ditulis dengan lambang S.
S = (a1, a2, ... , an)

b.      Titik sampel
Titik sampel adalah semua elemen yang ada didalam suatu ruangan sampel, yaitu a1, a2, ... , an



c.       Peristiwa/kejadian/event
Peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu sampel. Peristiwa ditulis dengan lambang huruf besar A, B dan seterusnya dan dituliskan peristiwa yang mungkin muncul dalam hasil.
Misalnya : hanya a2, a4 sebagai hasil peristiwa, maka yang ditulis
A = hasil yang diterima {a2, a4}

Contoh penggunaan definisi diatas adalah sebagai berikut :
Eksperimen             : Pelemparan sebuah dadu
Hasil (outcome)      : mata dadu yang tampak
Ruang sampel         : S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Suatu peristiwa       : A titik ganjil yang nampak {1, 3, 5}
                                  B titik genap yang tampak {2, 4, 6}

4.      Asas perhitungan probabilitas
Nilai probabilitas yang dilambangkan dengan “P” berada antara nilai 0 dan 1. Rumusnya adalah sebagai berikut (Budiarto,2001 : 103) :
Nilai probabilitas selalu menghasilkan nilai yang positif, tidak pernah negatif.
P (x/n) à bilangan positif (+)
Misalnya probabilitas keluar angka ganjil dalam pelemparan dadu P (ganjil/mata dadu) = 3/6

Asas dalam perhitungan probabilitas memiliki dua macam perhitungan, yaitu hukum pertambahan dan hukum perkalian. Biasanya dan hukum  pertambahan kita menggunakan kata kunci “atau” sedangkan hukum perkalian memiliki kata kunci “dan” (Sabri, 2009 : 47).
a.       Hukum pertambahan
Dalam hukum pertambahan terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan, yaitu apakah kedua peristiwa tersebut saling meniadakan atau dapat terjadi bersama. Kedua kondisi ini disebut sebagai peristiwa mutually exclusive ataupun non mutually exclusive (Sabri, 2009 : 47)
1)      Kejadian mutually exclusive (peristiwa saling terpisah = disjoint)
Dua peristiwa dikatakan mutually exclusive apabila satu peristiwa terjadi akan meniadakan peristiwa yang lain untuk terjadi, atau dikatakan peristiwa tersebut saling meniadakan. Aturan penjumlahan yang diterapkan untuk kejadian yang saling meniadakan disebut dengan aturan penjumlahan khusus. Kejadian salaing meniadakan (mutually exclusive event) adalah kejadian di mana jika sebuah kejadian terjadi, maka kejadian yang kedua adalah kejadian yang saling meniadakan. Jika A telah terjadi, maka kejadian B tidak akan terjadi.
Contoh : Permukaan sebuah koin, permukaan dadu, kelahiran anak laki-laki atau perempuan pada seorang ibu dengan kehamilan tunggal.
P(A atau B) = P (AÈB) = P(A) + P(B)

Contoh soal :
a)      Misalnya pada suatu kelahiran hanya dilahirkan bayi laki-laki atau perempuan dan bila bayi laki-laki telah terjadi tidak mungkin dilahirkan bayi wanita (Budiarto, 2001; 106).
                                     = 1/ (1+1) = 0,5
 = 1/ (1+1) = 0,5

b)      Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah :
P (2È5) = P(2) + P(5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

Pemahaman soal : Dalam pelemparan sebuah dadu, munculnya mata dadu 2 dan 5 tidak bisa terjadi secara bersamaan, sehingga munculnya mata dadu 2 akan meniadakan munculnya mata dadu yang lain. Jika dua kejadian A dan B saling meniadakan (saling lepas), aturan penjumlahan menyatakan bahwa probabilitas terjadinya A atau B sama dengan penjumlahan dari masing-masing nilai probabilitasnya.
Untuk tiga kejadian saling meniadakan yang dinyatakan dengan A, B, dan C di tulis:
P(A atau B atau C) = P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)

Contoh:
c)      Sebuah mesin otomatis pengisi kantong plastic dengan campuran beberapa jenis sayuran menunjukkan bahwa sebagian besar kantong plastic berisi sayuran tersebut memuat berat yang benar. Meskipun demikian, karena ada sedikit vriasi dalam ukuran sayuran yang ada, sebuah paket kantong plastic mungkin sedikit lebih berat atau lebih ringan dari berat standar. Pengecekan terhadap 4000 paket menunjukkan hasil sebagai berikut:
Tabel : hasil pengecekan probabilitas kejadian A,B dan C untuk 4000 paket

Berat
Kejadian
Jumlah Paket
Probabilitas
Lebih ringan
A
100
= 0,025
Standar
B
3600
= 0,900
Lebih berat
C
300
= 0,075
Jumlah

4000
          1,000

Hitung berapa probabilitas bahwa sebuah paket tertentu beratnya akan lebih ringan atau lebih berat dari berat standar?


Penyelesaian:
Hasil (outcome) “lebih ringan” adalah kejadian A, dan hasil “lebih berat” adalah kejadian C. dengan menerapkan aturan penjumlahan. Maka di peroleh:
                        P(A atau C) = P(A  C) = P(A) + P(C)
                                                             = 0,025 + 0,075  = 0,10

2)      Peristiwa non mutually exclusive (joint)
Dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama). Adakalanya hasil dari suatu eksperimen tidak bersifat saling meniadakan.
Contoh : Penarikan kartu as dan berlian, seorang laki-laki dan dokter.
P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B) atau
P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB).

Contoh soal :
a)    Berapa probabilitas behwa sebuah kartu yang dipilih secara acak dari satu set kartu yang berisi 52 kartu adalah kartu bergambar raja (king) atau bergambar hati (heart)?

Penyelesaian:
Dalam satu set kartu terdapat gambar raja sebanyak 4 buah, dan gambar hati sebanyak 13 buah. Karena diantera 4 kartu raja juga ada yang bergambar hati, maka kejadian terpilihnya kartu bergambar raja atau hati merupakan kejadian yang bersifat “bukan saling meniadakan”. Peluang/probabilitas masing-masing kejadian dapat diringkas sebangai berikut:

Tabel : peluang probabilitas kejadian bersifat bukan saling meniadakan
Kartu
Probabilitas
Penjelasan
Raja
P(A) =
4 kartu raja dalam 1 set kartu
Hati
P(A) =
13 kartu hati dalam 1 set kartu
Raja bergambar hati
P(A dan B) =
1 kartu raja bergambar hati dalam 1 set kartu.

Dengan menggunakan rumus untuk kejadian yang tidak saling meniadakan, maka dapat dihitung probabiitas bahwa sebuah kartu akan bergambar hati atau raja yaitu:

P(A atau B) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)
                                            =  +  -
                                            =  = 0,3077

b)   Pada penarikan satu kartu dari satu set kartu bridge, peluang akan terambil kartu as atau berlian adalah :
P (as) = 4/52                          P (berlian) = 13/52
Ada sebuah kartu as dan berlian : P(as È berlian) = 1/52
P (as È berlian) = P(as) + P(berlian) – P(as Ç berlian)
                               = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52
c)     Bila kita akan merekrut seorang tenaga kesehatan dan mengadakan seleksi terhadap 4 orang  pelamar yang terdiri dari dokter laki-laki, dokter wanita, laki-laki bukan dokter, dan wanita bukan dokter maka masing-masing memiliki peluang sebagai berikut (Budiarto, 2001; 107).
Peluang wanita (pr)     =
Peluang laki-laki (lk)   =
Peluang dokter (dr)     =
Peluang dokter wanita             = ¼
Peluang dokter laki-laki  = ¼
Berapa besarnya peluang tenaga yang kita rekrut tersebut adalah wanita atau dokter?
Penyelesaian :
  =   +   +  
2/4 + 2/4 -1/4 = 0,75


b.      Hukum perkalian
Dalam hukum perkalian terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan apakah kedua peristiwa tersebut saling bebas atau bersyarat. Hukum perkalian sebenarnya untuk mengetahui probabilitas peristiwa joint (interest = irisan) antara dua peristiwa (Sabri, 2009 : 50).


1)      Peristiwa bebas (independent)
Dua peristiwa dikatakan bebas/independent apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lain.
Perlu dibedakan : pada independent suatu kejadian tidak akan mempengaruhi kejadian lainnya, sedangkan mutually exclusive dua kejadian tidak dapat muncul bersamaan.
P(AÇB) = P(A) x P(B)
Contoh soal :
Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluar mata lima untuk kedua kalinya adalah :
P(5 Ç 5) = P(5) x P(5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

2)      Peristiwa tidak bebas/peristiwa bersyarat (conditional probability)
     Dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lainnya.
Misalnya : Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama. Maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik.
P (A) = P (A│B) 
P (B) = P (B│A)
P(AÇB) = P(A) x P(B│A)

Contoh soal :
Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as sebagai berikut :
Peluang as 1 adalah 4/52
Peluang as 2 adalah 3/51 dan seterusnya.
P(as 1 Ç as 2) = P(as 1) x P( as 2│as 1) = 4/52 x 3/51 = 1/221

5.      Permutasi/kombinasi
      Dalam menghitung probabilitas dari beberapa kejadian, pertama kita harus mengetahui berapa kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut (Sabri, 2009 ; 55).
      Permutasi adalah jumlah pengaturan (susunan) yang dapat dibentuk dari n objek dengan memperhatikan urutan elemen dalam objek itu (Sarwoko. 2007 : 2).
Contoh: kata “IBU” dalam bentuk diagram pohon
Dalil I : (kaidah umum pengandaan)
Kalau suatu step (langkah) dari suatu eksperimen menghasilkan (outcome) k hasil yang berbeda dan step ke-2 menghasilkan m hasil yang berbeda maka kedua langkah eksperimen akan menghasilkan :
k x m hasil
Contoh : sebuah dadu dilambungkan 3 kali, maka hasil ruang sampelnya adalah 6x6x6
Catatan : Maksudnya m hasil disini adalah ruang sampel setiap satu peristiwa bukan berapa kali peristiwa itu dilakukan {pernyataan 3 x 6 (3=3 kali dilambungkan, sedangkan 6 = hasil sampel dalam dadu/jumlah mata dadu adalah SALAH), 6x6x6 maknanya adalah 6 (titik sampel dari jumlah mata dadu pertama dikalikan titik sampel dari jumlah mata dadu kedua dan seterusnya).

Dalil II : Permutasi à urutan dipentingkan
Secara administratif, permutasi digunakan untuk menyusun jadwal kerja, menghitung peluang seseorang untuk mendapatkan pelayanan atau untuk mengetahui banyaknya tindakan yang dapat dilakukan dalam menangani penderita (Budiarto, 2001 : 112).
Keterangan :          P = jumlah permutasi (urutannya dipentingkan)
                              n = banyaknya objek
                              r = jumlah anggota pasangan
                              ! = Faktorial (3! = 3x2x1, 0!=1, 1!=1)

Contoh soal :
Ada tiga cara yang efektif untuk pengobatan pasien Ca (kanker) yakni bedah (B), radiasi (penyinaran=P) dan kemoterapi (obat=O). Ada berapa carakah dapat diobati seseorang yang menderita Ca kalau kepada masing-masing pasien hanya dua macam terapi yang bisa diberikan.

Penyelesaian :
Untuk pengobatan ini urutan diperlukan karena seseorang yang mendapat terapi bedah dan penyinaran (B, P) akan berbeda dengan yang mendapat penyinaran lebih dahulu baru dibedah (P, B).
Jadi, jumlah cara yang dapat dilaksanakan adalah (BP, BO, PB, PO, OB, OP)

Dalil III : kombinasi à urutan tidak dipentingkan.

Ket :          C = jumlah kombinasi (urutannya tidak dipentingkan)
                  n = banyaknya objek
                  r = jumlah anggota pasangan
                  ! = Faktorial (3! = 3x2x1, 0!=1, 1!=1)
Contoh soal :
Tiga orang pasien digigit ular dan dibawa ke puskesmas. Di puskesmas hanya tersedia 2 dosis antiracun air. Berapa kemungkinan pasangan yang akan diberikan 2 dosis tersebut (Pasien A, B, C)?

Penyelesaian :
2 pasien yang berpasangan disini, misalnya A dan B sama saja dengan B dan A. Jadi, disini ututan tidak ada artinya. Maka dalam hal ini pasangan yang terjadi adalah :
Mereka adalah : (AB, AC, BC)








REFERENSI :
Budiarto, Eko. (2001). Biostatistika untuk Kedokteran dan Kesehatan Masyarakat. Jakarta : EGC
Sabri, Luknis dan Sutanto Priyo Hastono. (2009). Statistik Kesehatan, Edisi 2. Jakarta : Rajawali Pers
Sarwoko, (2007). Statistik Inferensi untuk Ekonomi dan Bisnis. Yogyakarta : ANDI
Supranto, J. (1989). Statistik Teori dan Aplikasi. Jakarta : Erlangga